阎坤. 天体运行轨道的背景介质理论导引与自相似分形测度计算的分维微积分基础[R]. 西安现代非线性科学应用研究所, 2007 04 28.

本文框架内容发表在：
阎坤. 天体运行轨道的背景介质理论导引与自相似分形测度计算的分维微积分基础[J]. 地球物理学进展，2007，22(2)：451～462.
YAN Kun. Introduction on background medium theory about celestial body motion orbit and foundation of fractional-dimension calculus about self-similar fractal measure calculation[J]. Progress in Geophysics(in Chinese with abstract in English)，2007，22(2)：451～462.

天体运行轨道的背景介质理论导引与自相似分形测度计算的分维微积分基础

阎坤
(西安现代非线性科学应用研究所西安 710061)

摘要：通过讨论天体运行背景介质理论的连续轨道及离散轨道这二个研究方向的基础假设，介绍了天体运行轨道的具体方程形式及理论框架概要；进一步地通过讨论天体运行轨道Binet方程的一般形式及其行星近日点进动角的解，给出了连续轨道理论与Newton理论及Einstein广义相对论的联系与区别；通过讨论天体运行轨道的分维扩展方程，给出了包括太阳系行星、天王星卫星、地球卫星、绕月航天器等在内的离散轨道（稳定性轨道）方程及其预言数据。特别地，作为对天体在较为广泛区域作用曲线的初步探讨推论，指出仅由天体引力难以形成质量密度趋于无穷大的理想黑洞。通过讨论函数的分维导数的位置假设及幂函数的分维导数的形式假设，进一步明晰了幂函数的分维导数、分维微分及分维积分的具体方程形式，给出分维导数与分数阶导数的区别，探讨了自相似分形扩展与分维扩展的差分方程描述方法，随后讨论了基于一般分形测度的非整数阶微积分定义导出的自相似分形测度趋势性微积分方程具体形式，给出了其与目前Hausdorff测度方法（覆盖方法）的区别，并对包括三分Cantor集合、Koch曲线、Sierpinski垫片及正交十字星形等自相似分形在内的测度进行了计算分析，最后探讨了一种理想点集的维数及测度计算方程。

关键词：天体运行轨道，背景介质理论，连续轨道，离散轨道，自相似分形测度，非整数阶微积分，分数阶微积分，分维微积分

YAN Kun
(Xi’an Modern Nonlinear Science Applying Institute，Xi’an 710061，China)

Abstract In this paper, by discussing the basic hypotheses about the continuous orbit and discrete orbit in two research directions of background medium theory for celestial body motion, concrete equation forms and their summary of the theoretic frame of celestial body motion are introduced. Future more, by discussing the general form of Binet’s equation of celestial body motion orbit and it’s solution of the advance of the perihelion of planets, some relations and differences between the continuous orbit theory and Newton’s gravitational theory and Einstein’s general relativity are given. And by discussing fractional-dimension expanded equation for the celestial body motion orbits, the concrete equations and the prophesy data of discrete orbit or stable orbits of celestial bodies which included the planets in the Solar system, satellites in the Uranian system, satellites in the Earth system and satellites obtaining the Moon obtaining from discrete orbit theory are given too. Especially, as preliminary exploration and inference to the gravitational curve of celestial bodies in broadly range, the concept for the ideal black hole with trend to infinite in mass density difficult to be formed by gravitation only is explored. By discussing the position hypothesis of fractional-dimension derivative about function and formula form the hypothesis of fractional-dimension derivative about power function, concrete equation formulas of fractional-dimension derivative, differential and integral are described distinctly further, and difference between the fractional-dimension derivative and the fractional-order derivative are given too. The difference equations description of the self-similar fractal extension and fractional-dimension extension are discussed. Subsequently, the concrete forms of measure tendency calculus equations of self-similar fractal obtaining by based on the definition of form in non-integral order calculus about general fractal measure are discussed again, and differences with Hausdorff measure method or the covering method at present are given. By applying the measure calculation equations, measure of self-similar fractals which include middle-third Cantor set, Koch curve, Sierpinski gasket and orthogonal cross star are calculated and analyzed. At the end, the calculating equations of dimension and measure of an ideal points set are explored.

Keywords orbit of celestial body motion, background medium theory, continuous orbit, discrete orbit, self-similar fractal measure, non-integral order calculus, fractional-order calculus, fractional-dimension calculus

引言

在采用Euclid几何的Newton天体力学之后，目前关于天体运行轨道的描述主要有三个研究方向，其一是采用Riemann几何的Einstein广义相对论描述[1~3]，其二是仍采用Euclid几何的背景介质理论连续轨道描述[4, 5]，其三是采用Mandelbort分形几何的分维扩展离散轨道描述[4]。

极限上，上述前二个方法都要求在极弱场情况下方程能够退化为Newton方程形式，在弱场情况下能够给出符合诸如行星近日点进动数据[6]的解。
与连续轨道理论模式相比，后面的第三个描述离散轨道理论则属于稳定轨道理论模式，目前已给出部分天体的离散轨道方程具体形式。天体运行背景介质理论的离散轨道描述是基于分维扩展方法建立的，其深入的研究尚依赖于分维数学解析基础的确立和发展。

  目前在非整数阶微积分与自相似分形测度计算领域，现各有二个方向；在非整数阶微积分方面，其一是基于函数或整数阶积分变换直接外推默认的非局域性分数阶微积分[7~11]，其二是基于相邻整数阶导数位置假设的局域性分维微积分[12, 4]；在自相似分形测度计算方面，其一是基于Hausdorff测度的覆盖方法[13~16]，其二是基于分数阶微积分及分维微积分的测度趋势性计算方程方法[12, 4]。
  为明晰天体运行轨道背景介质理论的连续轨道及离散轨道描述、及基于分数阶微积分与分维微积分的自相似分形测度趋势性计算方程、主线推演脉络、部分结论，本文在天体运行轨道方程方面，将进一步明确连续轨道理论及离散轨道理论[4,5]的基础假设，对主线推演脉络给出初步总结，讨论连续轨道理论与Einstein广义相对论之间的关系与区别，给出离散轨道理论的方程形式及其预言数据，并对连续轨道与离散轨道共同的背景介质理论基础进行讨论，以为深入理解自然现象及建立更基本的天体运行轨道理论提供参照框架。在分维数学的分维微积分与自相似分形测度计算方面，本文将进一步明晰资料[12，4]中有关分维微积分的基础假设及自相似分形测度的非整数阶微积分定义形式，总结幂函数的分维微积分具体方程，给出分维导数与分数阶导数的关系与区别，探讨了相似分形扩展与分维扩展的差分方程描述方法，给出基于分数阶微积分与分维微积分的自相似分形测度趋势性方程，并对包括三分Cantor集合、Koch曲线、Sierpinski垫片及正交十字星等自相似分形测度进行具体计算分析，最后讨论了一种理想点集的转化及其维数和测度计算方程。
  分析表明分维微积分基础不足，运算困难，不具有广泛的函数关联性及逻辑一致性，在真正的非整数阶微积分理论建立前，应继续将分数阶微积分及基于分数阶微积分的自相似分形测度计算方程作主线予以趋势性探讨；而未来的解析理论根本标志至少是包含如下框架内容：
  A 给出与分形生成过程及测度密切联系的非整数阶微积分定义，并可自然延伸出函数阶微积分形式；
  B 给出真空的背景能量描述及其涨落转化规律；
  C 给出光的本质描述及波粒二象性的机理阐释；
  D 给出粒子谱系及演化规律、星系结构及运行规律。
  本文带有趋势性、试错性的初步讨论内容即是试图为上述未来的解析理论体系提供微许前期探索铺垫参照。